BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR

toán cao cấp không khí vector bài bác tập ma trận bài bác tập tuyến tính ma trận phức Đại số đại cương

Bạn đang xem: Bài tập không gian vector

*
pdf

Đề thi cuối học kỳ II năm học tập 2015-2016 môn Toán thời thượng (Đề số 1) - ĐH nước ngoài ngữ


*
pdf

bài xích giảng Toán cao cấp: Lecture 2 - Nguyễn Văn Thùy


Xem thêm: Xem File Mkv Trên Windows Media Player Đọc Được File Mkv, File Mkv Là Gì

*
ppt

Calculus and its applications: 6.3


Nội dung

1. Không khí vectorProblem 1.1. đưa sử A là một trong ma trận vuông cấp cho n, cùng C(A) = bố = AB là tập hợptất cả những ma trận vuông phức cấp cho n giao hoán được với A. Minh chứng rằng: C(A) là khônggian vector nhỏ của không gian vector Mn×n và dim C(A) ≥ n.Hint. Xét ánh xạ tuyến tính:T : Mn×n −→ Mn×nB 7→ AB − BA.Khi đó S = ker T là không gian vector nhỏ của không khí các ma trận Mn×n . Để ý rằng, nếuC là ma trận khả nghịch thìAB = BA−1−1−1khi và chỉ khi C ACC BC = C BCC −1 AC. Ví như D1 , . . . , doanh nghiệp là những ma trận hòa bình tuyếntính thì C −1 D1 C, . . . , C −1 dn C cũng tự do tuyến tính. Vì vậy để đơn giản và dễ dàng ta đưa sử A tất cả dạngJordan, với khối Jordan thứ i cấp k là:a 1 ... 0 ... ... .Ai = 0a 100aKhi đó Ai giao hoán vớib1Bi = 00b2 . . . Bk.. .....b b 120b1Do kia A giao dịch vớiB1..B=..BrVì vào B gồm n biến đề nghị dim C(A) ≥ n.♥Problem 1.2. Mang lại S là không khí con của không khí Mn (C) sinh do tập tất cả các ma trậncó dạng AB − BA. Chứng minh rằng: dim S = n2 − 1.Hint. Ta cần chỉ ra S gồm n2 − 1 vector tự do tuyến tính. Đó là các ma trận: Mij = Mik Mkj −Mkj Mik , i 6= j (có n2 − n phần tử)M11 − Mjj = Mij Mj1 − Mj1 Mij , j 6= 1 (có n − 1 phần tử), trong những số đó ma trận Mij là ma trậncó phần tử 1 tại phần ij, những vị trí khác đều bởi 0. Vì vậy dim S ≥ n2 − 1, mặt khác S 6= Mn×nnên dim S 0 bắt buộc α là số chẳn. Vậydet(I + 2P ) > 0, tuyệt (ai ) cùng (ai + 2bi ) thuộc hướng với nhau.♥Problem 1.6. Mang lại V là không khí vector n chiều với W là một không khí con m chiều củaV , (m dim U + dim V .Chứng minh rằng tồn tại những số λ1 , λ2 , . . . , λk không đồng thời bằng 0 sao chokXλi u i =i=1kXλi vi = 0.i=1Khẳng định trên còn đúng không nhỉ nếu k ≤ dim U + dim V.Hint. Chăm chú rằng ta có đơn cấu U × V −→ W yêu cầu số chiều của U × V không quá n.♥Problem 1.21. Cho f là đa thức hệ số thực gồm bậc n > 0 và p0 , p1 , p2 , . . . , pn là những đa thứchệ số thực và có bậc dương. CMR, tồn tại các số thực a0 , a1 , a2 , . . . , an không mặt khác bằngnXkhông làm sao cho đa thức Q(x) =ai (pi (x))i phân chia hết cho f .i=0Problem 1.22. Mang đến V là một không gian vector bên trên trường vô hạn K cùng V1 , V2 , . . . , vn là cáckhông gian vector nhỏ của V. Mang sửn. Chứngminh rằng f1 , f2 , . . . , fn phụ thuộc vào tuyến tính khi và chỉ còn khiRdet ab fi (x)fj (x)dx = 0. 9Hint. Xét tích vô phía trên C xác định bởiZ bf (x)g(x)dx.hf, gi =aTa có C là không khí Euclid vàdetRbafi (x)fj (x)dxchính là định thức Gram của hệ vector f1 , f2 , . . . , fn . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. ♥Problem 2.12. Ký kết hiệu mét vuông (R) là không gian các ma trận vuông thực cấp 2. Cho1 22 1A=,B=.−1 30 4Xét phép chuyển đổi tuyến tính L : m2 (R) −→ m2 (R) xác minh bởi L(X) = AXB. Hãy tính vếtvà định thức của L.Hint. Xét những ánh xạ đường tínhLA (X) = AXLB (X) = XB.Ma trận của LA cùng LB lần lược là:=1 0 01MA =  −1 00 −120302 001 42 M =0  B 0 00 03002100.04Suy ra det L = det LA . Det LB = 26 .52 , T r(L) = T r(MA .MB ) = 24Problem 2.13. Cam kết hiệu M3 (R) là không khí các1 0A= 0 trăng tròn 0♥ma trận vuông thực cung cấp 3. Cho0011Xét phép chuyển đổi tuyến tính L : M3 (R) −→ M3 (R) khẳng định bởi L(X) = (AX + XA). Hãy2tính định thức của L.Hint. đem X = (xij ), ta có:x11 23 x123L(X) =  2 x21 2x22x31 32 x32x133x .2 23x33381Dễ thấy từng ma trận Mij phần nhiều là vector riêng biệt của L. Suy ra det L = 2.( )4 = .28♥Problem 2.14. Cam kết hiệu M3 (R) là không gian các ma trận vuông thực cấp 3. Giả sử A ∈M3 (R), det A = 32 và đa thức buổi tối tiểu của A là (λ − 4)(λ − 2). Xét ánh xạ đường tính: LA :M3 (R) −→ M3 (R) xác minh bởi LA (X) = AX. Hãy tính vệt của LA .Problem 2.15. Ký kết hiệu M7 (R) là không gian các ma trận vuông thực cung cấp 7. Mang sử A ∈ M7 (R)là một ma trận chéo với đường chéo cánh chính gồm 4 hạng tử +1 cùng 3 hạng tử -1. Xét ánh xạ tuyếntính LA : M7 (R) −→ M7 (R) khẳng định bởi LA (X) = AX − XA. Hãy tính rank LA .Problem 2.16. Mang đến F là một trong trường, n với m là nhị số nguyên, Mm×n là không khí các matrận cung cấp m × n trên trường F . Trả sử A với B là hai ma trận cố định và thắt chặt của Mm×n . Xét ánh xạtuyến tính L : Mm×n −→ Mm×n xác định bởi L(X) = AXB. Chứng minh rằng trường hợp m 6= n thìL suy biến. 10Hint. Trường hợp m > n. Ta viết T = T1 ◦ T2 , trong đó T2 : Mn×m −→ Mn×n được xác địnhbởi: T2 (X) = XB cùng T1 : Mn×n −→ Mm×n được cho bởi: T1 (Y ) = AY . Vị dim Mn×m = nm >n2 = dim Mn×n bắt buộc T2 không đối chọi ánh, suy ra T cũng không 1-1 ánh hay T ko khả nghịch.Trường vừa lòng m