Các Bài Toán Tìm Thiết Diện Có Lời Giải

Bài viết phân dạng với hướng dẫn phương thức xác định tiết diện của hình đa diện lúc cắt vày mặt phẳng với những ví dụ minh họa có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Các bài toán tìm thiết diện có lời giải

Dạng 1: tiết diện của hình đa diện với phương diện phẳng $left( alpha ight)$ biết $left( alpha ight)$ đi qua bố điểm riêng biệt không trực tiếp hàng.Phương pháp:+ xác định giao tuyến đường của mặt phẳng $left( alpha ight)$ với từng mặt của hình đa diện.+ Nối những đoạn giao con đường lại ta được thiết diện cần tìm.

Ví dụ 1: mang lại tứ diện $ABCD$. Call $I$ cùng $J$ thứu tự là trung điểm của $BC$ và $BD$; $E$ là 1 trong điểm thuộc cạnh $AD$ khác với $A$ cùng $D$. Xác minh thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi vì mặt phẳng $left( IJE ight)$.

*

Ta có:$left( IJE ight) cap left( BCD ight) = IJ$ $left( 1 ight).$$left( IJE ight) cap left( ABD ight) = EJ$ $left( 2 ight).$Tìm $left( IJE ight) cap left( ACD ight)$:$E in left( IJE ight) cap left( ACD ight).$$IJ subset left( IJE ight)$, $CD subset left( ACD ight).$Vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $IJ//CD$ $ Rightarrow left( IJE ight) cap left( ACD ight) = Ex$ với $Ex$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $IJ$ và $CD.$Gọi $F = Ex cap AC.$Khi đó: $left( IJE ight) cap left( ACD ight) = EF$ $left( 3 ight).$Ta có: $left( IJE ight) cap left( ABC ight) = IF$ $left( 4 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight)$ suy ra thiết diện của hình tứ diện $ABCD$ lúc cắt do mặt phẳng $left( IJE ight)$ là hình thang $IJEF.$

Ví dụ 2: cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $CC’$. Dựng tiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng $left( AMN ight).$

*

Ta có:$left( AMN ight) cap left( ABB’A’ ight) = AM$ $left( 1 ight).$$left( AMN ight) cap left( ACC’A’ ight) = AN$ $left( 2 ight).$Tìm $left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight):$$M in left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight).$Gọi $P = AN cap A’C’$ $ Rightarrow p in left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight).$Suy ra $left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight)$ $ = MP = MQ$ (với $Q = MP cap B’C’$) $left( 3 ight).$Khi đó: $left( AMN ight) cap left( BCC’B’ ight) = NQ$ $left( 4 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight)$ suy ra thiết diện là tứ giác $AMQN.$

Dạng 2: thiết diện của một hình nhiều diện với khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$, biết $left( alpha ight)$ chứa $a$ và tuy nhiên song với đường thẳng $b.$Phương pháp:+ Chọn phương diện phẳng $left( eta ight) supset b.$+ Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight).$+ Tìm $M_x = left( alpha ight) cap left( eta ight)$, khi đó $M_xparallel aparallel b.$+ Xác định giao đường của mặt phẳng $left( alpha ight)$ với các mặt của hình nhiều diện.+ Nối các đoạn giao tuyến đường lại ta được thiết diện buộc phải tìm.

Ví dụ 3: mang lại hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh lòng là $AB$ cùng $CD$. điện thoại tư vấn $I,J$ theo lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. $G$ là trung tâm của $Delta SAB$. Xác minh thiết diện của hình chóp với khía cạnh phẳng $left( IJG ight)$.

*

Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$Vậy $left( IJG ight)$ là khía cạnh phẳng có chứa một con đường thẳng tuy vậy song cùng với một con đường thẳng cho trước $left( AB ight).$Chọn phương diện phẳng $left( SAB ight) supset AB.$$G$ là vấn đề chung của nhì mặt phẳng $left( SAB ight)$ và $left( IJG ight).$Ta có: $left{ eginarraylAB subset left( SAB ight)\IJ subset left( IJG ight)\G in left( SAB ight) cap left( IJG ight)\ABparallel IJendarray ight.$ $ Rightarrow left( SAB ight) cap left( IJG ight)$ $ = G_xleft( G_xparallel ABparallel IJ ight).$Giả sử $G_x$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $left( SAB ight) cap left( IJG ight) = MN$, $left( SAD ight) cap left( IJG ight) = MI$, $left( SBC ight) cap left( IJG ight) = NJ$, $left( ABCD ight) cap left( IJG ight) = IJ.$Vậy thiết diện phải tìm là hình thang $MNIJ.$

Ví dụ 4: đến tứ diện $ABCD$. Call $I,J$ thứu tự là trung điểm của $AC$ với $BC$. Call $K$ là một trong điểm trên cạnh $BD$. Khẳng định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $left( IJK ight)$.

*

Do $I,J$ thứu tự là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJparallel AB.$Vậy $left( IJK ight)$ là khía cạnh phẳng đựng một mặt đường thẳng tuy nhiên song với một mặt đường thẳng đến trước $left( AB ight).$Chọn khía cạnh phẳng $left( ABC ight) supset AB.$$left{ eginarraylK in BD\BD subset left( ABD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow K in left( ABD ight)$, suy ra $K$ là điểm thông thường của nhị mặt phẳng $left( IJK ight)$ và $left( ABD ight).$Ta có: $left{ eginarraylAB subset left( ABD ight)\IJ subset left( IJK ight)\ABparallel IJ\K in left( ABD ight) cap left( IJK ight)endarray ight.$ $ Rightarrow left( ABD ight) cap left( IJK ight) = K_x$ $left( K_xparallel ABparallel IJ ight).$Giả sử $K_x$ cắt $AD$ tại $H$, lúc đó: $left( ABD ight) cap left( IJK ight) = KH$, $left( CAD ight) cap left( IJK ight) = IH$, $left( CDB ight) cap left( IJK ight) = JK$, $left( CAB ight) cap left( IJK ight) = IJ.$Vậy thiết diện đề nghị tìm là hình thang $IJKH.$

Dạng 3: tiết diện của hình đa diện với phương diện phẳng $left( alpha ight)$, biết khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$ qua $M$ và song song với hai tuyến phố thẳng $a$ và $b.$Phương pháp:+ Qua $left( alpha ight)$ kẻ hai tuyến phố thẳng $left( alpha ight)$lần lượt song song với hai tuyến đường thẳng $left( alpha ight)$+ tìm điểm thông thường của $left( alpha ight)$với một khía cạnh nào đó của hình nhiều diện+ khía cạnh phẳng nào chứa điểm bình thường và đựng đường trực tiếp $left( alpha ight)$hoặc $left( alpha ight)$thì liên tục kẻ đường thẳng qua điểm phổ biến và tuy nhiên song với mặt đường thẳng $left( alpha ight)$hoặc $left( alpha ight)$cho đến khi thiết diện được hình thành.

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình bình hành. điện thoại tư vấn $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một phương diện phẳng $left( alpha ight)$ qua $O$, song song cùng với $SA,CD$. Tìm kiếm thiết diện tạo do $left( alpha ight)$ và hình chóp.

*

Tìm $left( alpha ight) cap left( ABCD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylO in left( alpha ight) cap left( ABCD ight)\CDparallel left( alpha ight)\left( ABCD ight) supset CDendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( ABCD ight) = MN$ $left( 1 ight)$, với $MN$ là đoạn trực tiếp qua $O$ và tuy vậy song với $CD$, $left( M in BC,N in AD ight).$Tìm $left( alpha ight) cap left( SAD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylN in left( alpha ight) cap left( SAD ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAD ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SAD ight) = NP$ $left( 2 ight)$ với $NPparallel SA$ $left( P in SD ight).$Tìm $left( alpha ight) cap left( SCD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylP in left( alpha ight) cap left( SCD ight)\CDparallel left( alpha ight)\left( SCD ight) supset CDendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SCD ight) = MQ$ $left( 3 ight)$ với $PQparallel CD$ $left( Q in SC ight).$Ta có: $left( alpha ight) cap left( SBC ight) = MQ$ $left( 4 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight)$ suy ra thiết diện đề nghị tìm là tứ giác $MNPQ.$Ta lại có: $MNparallel CDparallel QP.$ Vậy thiết diện yêu cầu tìm là hình thang $MNPQ.$

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$, lòng $ABCD$ là hình thang cân tất cả $AD$ không song song cùng với $BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ cùng $left( alpha ight)$ là mặt phẳng qua $M$, tuy vậy song cùng với $SA,BD$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt vày mặt phẳng $left( alpha ight).$

*

Tìm $left( alpha ight) cap left( ABCD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylM in left( alpha ight) cap left( ABCD ight)\BDparallel left( alpha ight)\left( ABCD ight) supset BDendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( ABCD ight) = MN$ $left( 1 ight)$ với $MNparallel BD$ $left( N in AB ight)$ ($N$ là trung điểm của $AB$).Tìm $left( alpha ight) cap left( SAD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylM in left( alpha ight) cap left( SAD ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAD ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SAD ight) = MR$ $left( 2 ight)$ với $MRparallel SA$ $left( R in SD ight)$ ($R$ là trung điểm của $SD$).Tìm $left( alpha ight) cap left( SAB ight)$:Ta có: $left{ eginarraylN in left( alpha ight) cap left( SAB ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAB ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SCD ight) = NP$ $left( 3 ight)$ với $NPparallel SA$ $left( P in SB ight)$ ($P$ là trung điểm của $SB$).Tìm $left( alpha ight) cap SC$:Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ với $AC.$Chọn mặt phẳng phụ $left( SAC ight) supset SC.$Tìm $left( alpha ight) cap left( SAC ight)$:Ta có: $left{ eginarraylI in left( alpha ight) cap left( SAC ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAC ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SAC ight) = IQ$ với $IQparallel SA$ $left( Q in SC ight).$Suy ra $left( alpha ight) cap SC = Q.$Do đó ta có:$left( alpha ight) cap left( SCD ight) = RQ$ $left( 4 ight).$$left( alpha ight) cap left( SCB ight) = PQ$ $left( 5 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight),left( 5 ight)$ suy ra thiết diện buộc phải tìm là ngũ giác $MNPQR.$Dạng 4: tiết diện của hình nhiều diện với mặt phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ đi sang 1 điểm cho trước và tuy nhiên song với mặt phẳng $(eta ).$Phương pháp:+ chọn mặt phẳng $(gamma )$ chứa điểm thuộc phương diện phẳng $(alpha )$ làm sao cho giao đường của $(eta )$ và $(gamma )$ là dễ tìm.+ xác định giao đường $d=(eta )cap left( gamma ight).$+ kết luận giao con đường của $(alpha )$ với $(gamma )$ là mặt đường thẳng qua điểm thuộc $(alpha )$ và song song $d.$+ liên tục làm quy trình này cho tới khi thiết diện được hình thành.

Ví dụ 7: cho tứ diện $ABCD$. Call $E$ là một trong điểm nằm tại cạnh $AB.$ xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi vì mặt phẳng $(alpha )$ cùng với $(alpha )$ là phương diện phẳng qua $E$ với $(alpha )parallel (BCD).$

*

Tìm $(alpha ) cap (ABC)$:Ta có: $left{ eginarrayl(ABC) cap (BCD) = BC\(alpha )parallel (BCD)\E in (alpha ) cap (ABC)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABC) = EF$ $(1)$, cùng với $EF$ là đoạn trực tiếp qua $E$ và tuy nhiên song với $BC.$Tìm $(alpha ) cap (ABD)$:Ta có: $left{ eginarrayl(ABD) cap (BCD) = BD\(alpha )parallel (BCD)\E in (alpha ) cap (ABD)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABD) = EG$ $(2)$, cùng với $EG$ là đoạn trực tiếp qua $E$ và song song $BD.$Nối đoạn $FG$ ta có: $(alpha ) cap (ACD) = FG$ $(3).$Từ $(1),(2),(3)$ suy ra thiết diện đề xuất tìm là tam giác $EFG.$

Ví dụ 8: mang đến hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$, $ADTa có: $left{ eginarrayl(ABCD) cap (SAD) = AD\(alpha )parallel (SAD)\M in (alpha ) cap (ABCD)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABCD) = MN$ $(1)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $AD.$Tìm $(alpha ) cap (SAB)$:Ta có: $left{ eginarrayl(SAB) cap (SAD) = SA\(alpha )parallel (SAD)\M in (alpha ) cap (SAB)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SAB) = MK$ $(2)$, cùng với $MK$ là đoạn trực tiếp qua $M$ tuy vậy song $SA.$Tìm $(alpha ) cap (SCD)$:Ta có: $left{ eginarrayl(SCD) cap (SAD) = SD\(alpha )parallel (SAD)\N in (alpha ) cap (SCD)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SCD) = NP$ $(3)$, cùng với $NP$ là đoạn thẳng qua $N$ song song $SD.$Nối đoạn $KP$ ta có: $(alpha ) cap (SBC) = KP$ $(4).$Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra thiết diện đề xuất tìm là tứ giác $MNPK.$

Dạng 5: thiết diện của hình nhiều diện với khía cạnh phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ qua một điểm cho trước với vuông góc cùng với một mặt đường thẳng đến trước.Phương pháp: Để search thiết diện của khối nhiều diện $S$ với mặt phẳng $left( alpha ight)$, biết $left( alpha ight)$ trải qua điểm $M$ cho trước và vuông góc với đường thẳng $d$ mang đến trước, làm cho như sau:+ Tìm hai đường thẳng giảm nhau hay chéo cánh nhau $a,b$ thuộc vuông góc cùng với $d$.+ khẳng định mặt phẳng $left( alpha ight)$ theo 1 trong bốn ngôi trường hợp:$(I)$: $left{ eginarray*20ca subset left( alpha ight)\b subset left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$$(II)$: $left{ eginarray*20ca//left( alpha ight)\b//left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$$(III)$: $left{ eginarray*20ca subset left( alpha ight)\b//left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$$(IV)$: $left{ eginarray*20ca//left( alpha ight)\b subset left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$

Ví dụ 9: mang đến hình tứ diện $SABC$ tất cả $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC ight)$. điện thoại tư vấn $E$ là trung điểm của $AC$, $M$ là một điểm thuộc $AE$. Xác minh thiết diện tạo vày tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $left( alpha ight)$, biết $left( alpha ight)$ là khía cạnh phẳng qua điểm $M$ và vuông góc cùng với $AC$.

Xem thêm: Mua Bán Xe Ô Tô Giá Rẻ 04/2021 Tại Cần Thơ, Mua Bán Xe Ô Tô Giá Rẻ 04/2021 Tại Quận Cái

*

Tìm hai đường thẳng không song song thuộc vuông góc với $AC.$Ta có: $left{ eginarray*20cSA ot left( ABC ight)\AC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow SA ot AC.$Xét tam giác phần nhiều $ABC$, ta có $E$ là trung điểm của $AC$ buộc phải $BE$ vẫn vuông góc cùng với $AC$.Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $BE$ là hai tuyến phố thẳng không tuy nhiên song cùng vuông góc với $AC$.Xác định khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$:Do $left( alpha ight)$ qua $M$ cùng $M otin SA$, $M otin BE$ nên $left( alpha ight)$ vẫn được khẳng định theo cách: $left{ eginarray*20cSA\\M in left( alpha ight)endarray ight.$Khi đó:Trong $left( ABC ight)$ dựng $Mx||BE$ giảm $AB$ tại $N$ (ta được $MNot AC$).Trong $left( SAC ight)$ dựng $My||SA$ cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MPot AC$).Trong $left( SAB ight)$ dựng $Nz||SA$ giảm $SB$ trên $Q$ (ta được $NQot AC$).Xác định thiết của $left( alpha ight)$ với tứ diện $SABC$:Ta có:$left( SAB ight)cap left( alpha ight)=NQ.$$left( SAC ight)cap left( alpha ight)=NP.$$left( SBC ight)cap left( alpha ight)=PQ.$$left( ABC ight)cap left( alpha ight)=MN.$Vậy thiết diện nên tìm là hình thang vuông $MNPQ$.

Ví dụ 10: đến hình tứ diện $SABC$ tất cả $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với khía cạnh phẳng $left( ABC ight)$. Rước một điểm $M$ bất kỳ trên cạnh $SC$, hotline $left( alpha ight)$ là phương diện phẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Hãy khẳng định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $left( alpha ight)$.

*

Tìm hai tuyến phố thẳng không tuy nhiên song cùng vuông góc với $AB.$Ta có: $left{ eginarray*20cSA ot left( ABC ight)\AB subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow SA ot AB.$Xét tam giác đông đảo $ABC$, ta gồm $I$ là trung điểm của $AB$nên $CI$ sẽ vuông góc với $AB$.Vậy ta có hai tuyến đường thẳng $SA$ với $CI$ là hai tuyến phố thẳng không tuy vậy song cùng vuông góc cùng với $AB$.Xác định mặt phẳng $left( alpha ight)$:Do $left( alpha ight)$ qua $M$và $M otin SA$, $M otin CI$ đề xuất $left( alpha ight)$ đã được khẳng định theo cách: $left{ eginarray*20cSA//left( alpha ight)\CI//left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$Khi đó:Trong $left( SAC ight)$ dựng $Mx//SA$ cắt $AC$ trên $N$ (ta được $MNot AB$).Trong $left( ABC ight)$ dựng $Ny//CI$ giảm $AB$ trên $P$ (ta được $NPot AB$).Trong $left( SAB ight)$ dựng $Pz//SA$ giảm $SB$ tại $Q$ (ta được $PQot AB$).Xác định thiết của $left( alpha ight)$ với tứ diện $SABC$:Ta có:$left( SAB ight)cap left( alpha ight)=PQ.$$left( SAC ight)cap left( alpha ight)=MN.$$left( SBC ight)cap left( alpha ight)=QM.$$left( ABC ight)cap left( alpha ight)=NP.$Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.

Dạng 6: thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $left( alpha ight)$ biết $left( alpha ight)$ cất đường trực tiếp $d$ cùng vuông góc với mặt phẳng $left( eta ight)$.Phương pháp:+ xuất phát từ 1 điểm $Min d$ ta dựng mặt đường thẳng $a$ qua $M$ và vuông góc cùng với $(eta )$. Khi đó: $left( alpha ight)=left( d,a ight).$+ tìm giao đường của $left( alpha ight)$ với các mặt của hình nhiều diện.

Ví dụ 11: mang lại tứ diện $SABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SAot left( ABC ight)$. Hotline $E$ là trung điểm cạnh $SC$, $M$ là một trong điểm bên trên cạnh $AB$. điện thoại tư vấn $left( alpha ight)$ là mặt phẳng cất $EM$ với vuông góc cùng với $left( SAB ight)$. Xác định thiết diện của $left( alpha ight)$ với tứ diện.

*

Ta có: $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot mSAendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight).$Ta lại có: $left eginarraylleft( alpha ight) ot left( SAB ight)\BC ot left( mSAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight)parallel BC.$Kẻ $MNparallel BC$, $ mEFparallel BC.$Nối $MF, NE$ ta được thiết diện đề nghị tìm là hình thang $MNEF.$

Ví dụ 12: mang đến hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $SAot (ABCD)$. Call $I,J$ thứu tự là trung điểm của $AB,CD$. Hotline $left( phường ight)$ là phương diện phẳng qua $I$ với vuông góc với phương diện $left( SBC ight)$. Kiếm tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $left( phường ight)$.

*

Ta có: $left. eginarraylIJ ot AB\IJ ot SAendarray ight$ $ Rightarrow IJ ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow IJ ot SB.$Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc cùng với $SB$ trên $K.$Do đó $left( phường ight) equiv left( KIJ ight).$Ta có:$left( p ight) cap left( SAB ight) = KI.$$left( p. ight) cap left( ABCD ight) = IJ.$$left( p. ight) supset IJparallel BC$ $ Rightarrow left( p ight) cap left( SBC ight) = KNparallel BC.$$left( p. ight) cap left( SCD ight) = NI.$Vậy tiết diện là hình thang $KNIJ.$

Dạng 7: thiết diện của hình đa diện với khía cạnh phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với phương diện phẳng $(eta )$ một góc $varphi .$Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, đặc thù giao điểm và trung đường … từ đó khẳng định các đoạn giao tuyến đường và tìm kiếm được thiết diện.

Ví dụ 13: đến hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ tất cả đáy là hình vuông vắn cạnh $a$. Khía cạnh bên phù hợp với đáy một góc $60^0$. đến $left( p ight)$ là mặt phẳng qua $CD$ cùng vuông góc cùng với $left( SAB ight)$, $left( p. ight)$ giảm $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. $left( p. ight)$ giảm hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính thiết diện theo $a$.

*

Gọi $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$Khi kia $KI$ đi qua tâm $O$ của hình vuông $ABCD.$Ta có: $left{ eginarraylSK ot AB\OK ot ABendarray ight.$ $ Rightarrow widehat SKO = 60^0$ (Vì $widehat SKO$ là góc giữa mặt bên và dưới đáy hình chóp).Suy ra $Delta SKI$ là tam giác đều.Hạ mặt đường cao $IE$ của $Delta SIK.$Ta có: $left{ eginarraylIE ot SK\IE ot ABendarray ight.$ $ Rightarrow IE ot left( SAB ight).$Do đó mặt phẳng $left( phường ight)$ qua $CD$ cùng vuông góc $left( SAB ight)$ là khía cạnh phẳng $left( CDE ight)$.Vậy thiết diện phải tìm là tứ giác $CDMN.$Ta có: $left{ eginarraylMNparallel AB\CDparallel ABendarray ight.$ $ Rightarrow MNparallel CD.$Mặt không giống $MN$ là mặt đường trung bình của $Delta SAB$, do kia $DM = CN.$Vậy tiết diện $CDMN$ là hình thang cân.Ta có: $MN = fraca2$, $IE = fracasqrt 3 2.$Vậy diện tích s thiết diện là $S_CDMN = fracleft( CD + MN ight).IE2$ $ = frac3a^2sqrt 3 8.$

Ví dụ 14: cho hình chóp tứ giác phần đông $S.ABCD$ gồm đáy là hình vuông vắn $ABCD$ cạnh $a$. Mặt bên tạo với lòng một góc $60^0.$ phương diện phẳng $(alpha )$ qua $AB$ giảm $SC,SD$ thứu tự tại $M,N$. Cho biết thêm góc tạo bởi vì mặt phẳng $(alpha )$ với dưới đáy là $30^0.$ Hãy khẳng định thiết diện tạo vì mặt phẳng $(alpha )$ với hình chóp.

*

Ta có: $left{ eginarraylM in (alpha ) cap (SCD)\CDparallel AB\(SCD) supset CD,(alpha ) supset ABendarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SCD) = MN$ $(MNparallel AB).$Ta có: $(SAB) cap (alpha ) = AB$, $(SAD) cap (alpha ) = AN$, $(SCD) cap (alpha ) = MN$, $(SBC) cap (alpha ) = MB.$Vậy thiết diện nên tìm là hình thang $ABMN.$Mặc khác $Delta AND=Delta BMC$ $Rightarrow AN=BM.$Vậy $ABMN$ là hình thang cân.