Các dạng toán về dãy số viết theo quy luật

Chuyên đề hàng số thuộc chương trình Toán nâng cấp lớp 4, giành riêng cho các em học sinh tương đối giỏi rèn luyện khả năng giải toán, bồi dưỡng ôn thi học sinh giỏi.

Bạn đang xem: Các dạng toán về dãy số viết theo quy luật

A. Dãy số cách đều


3. Các dạng bài cụ thể:1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)

1. Công thức cần nhớ trong việc dãy số phương pháp đều

Tính số các số hạng trong hàng = (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé xíu nhất của dãy) : khoảng giải pháp giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng nhỏ nhắn nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá chỉ trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài xích cơ bản trong dạng bài bác tính tổng của dãy gồm quy luật biện pháp đều, cần tính giá chỉ trị của A theo công thức tính tổng của hàng số bí quyết đều.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 2: đến dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ……………

Tìm số hạng thứ 2014 của hàng số bên trên ?

Phân tích: Từ công thức tính số những số hạng vào dãy phương pháp đều suy ra biện pháp tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong hàng – 1)xkhoảng bí quyết giữa nhị số hạng liên tiếp+ số hạng bé xíu nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của hàng số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số:4028

Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong hàng đó là 2013 ?

Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng vào dãy giải pháp đều suy ra giải pháp tìm số hạng bé nhất trong hàng là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất – (Số số hạng trong hàng – 1)xkhoảng phương pháp giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu thương cầu của bài toán.

Bài giải

Số hạng nhỏ bé nhất trong dãy số đó là:

2013 – (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần kiếm tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Ví dụ 4: Một dãy phố bao gồm 15 nhà. Số đơn vị của 15 nhà đó được đánh là những số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy mang lại biết số công ty đầu tiên của hàng phố đó là số như thế nào ?

Phân tích: việc cho bọn họ biết số số hạng là 15, khoảng phương pháp của 2 số hạng liên tiếp trong hàng là 2 cùng tổng của hàng số bên trên là 915. Từ đó sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu cùng số công ty cuối. Sau đó chuyển vấn đề về dạng kiếm tìm số bé bỏng biết tổng và hiêu của nhì số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số công ty cuối và số đơn vị đầu là:

(15 – 1) x 2 = 28

Tổng của số đơn vị cuối và số nhà đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số công ty đầu tiên trong hàng phố đó là:

(122 – 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

3. Những dạng bài bác cụ thể:

Dạng 1. Tìm số số hạng của hàng số

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Viết những số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối thuộc là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số?

Giải:Hai số lẻ liên tiếp hơn hèn nhau 2 đơn vịSố cuối hơn số đầu số đơn vị là:971 – 211 = 760 (đơn vị)760 đơn vị tất cả số khoảng bí quyết là:760: 2 = 380 (khoảng cách)Dãy số trên bao gồm số số hạng là:380 +1 = 381 (số)Đáp số:381 số hạng

Bài 2:Cho dãy số 11, 14, 17,. .., 68.a, Hãy xác định dãy trên gồm bao nhiêu số hạng?b, Nếu ta tiếp tục kéo dãn các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy?

Giải:a, Ta có: 14 – 11 = 317 – 14 = 3Vậy quy luật của dãy là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 3.Số những số hạng của dãy là:( 68 – 11 ): 3 + 1 = 20 (số hạng)b, Ta nhận xét:Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 – 1) x 3Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 – 1) x 3Số hạng thứ tư : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1) x 3Vậy số hạng thứ 1 996 là: 11 + (1 996 – 1) x 3 = 5 996Đáp số: 20 số hạng; 5 996

Bài 3:Trong các số có tía chữ số, bao gồm bao nhiêu số phân tách hết đến 4?

Giải:Ta tất cả nhận xét: số nhỏ nhất có ba chữ số phân chia hết mang lại 4 là 100 với số lớn nhất có tía chữ số phân chia hết mang lại 4 là 996. Như vậy những số có cha chữ số phân tách hết mang đến 4 lập thành một hàng số bao gồm số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 cùng mỗi số hạng của dãy (Kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4.Vậy những số tất cả 3 chữ số phân chia hết mang đến 4 là:(996 – 100): 4 + 1 = 225 (số)Đáp số: 225 số

Dạng 2. Tra cứu tổng những số hạng của hàng số:

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.

Giải:Dãy của 100 số lẻ đầu tiên là:1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199.Ta có:1 + 199 = 2003 + 197 = 2005 + 195 = 200…Vậy tổng phải kiếm tìm là:200 x 100: 2 = 10 000Đáp số 10 000

Bài 2:Viết các số chẵn liên tiếp:2, 4, 6, 8,. . . , 2000Tính tổng của hàng số trên

Giải:Dãy số trên 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị.Dãy số trên bao gồm số số hạng là:(2000 – 2): 2 + 1 = 1000 (số)1000 số tất cả số cặp số là:1000: 2 = 500 (cặp)Tổng 1 cặp là:2 + 2000 = 2002Tổng của dãy số là:2002 x 500 = 100100

Dạng 3. Kiếm tìm số hạng thứ n

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Cho hàng số: 1, 3, 5, 7,…Hỏi số hạng thứ đôi mươi của hàng là số nào?

Giải:Dãy đã cho rằng dãy số lẻ nên các số liên tiếp vào dãy bí quyết nhau 1 khoảng giải pháp là 2 đơn vị.20 số hạng thì bao gồm số khoảng biện pháp là:20 – 1 = 19 (khoảng cách)19 số bao gồm số đơn vị là:19 x 2 = 38 (đơn vị)Số cuối cùng là:1 + 38 = 39Đáp số: Số hạng thứ trăng tròn của dãy là 39

Bài 2:Viết đôi mươi số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?

Giải:2 số lẻ liên tiếp hơn nhát nhau 2 đơn vị20 số lẻ gồm số khoảng cách là:20 – 1 = 19 (khoảng cách)19 khoảng cách gồm số đơn vị là:19 x 2 = 38 (đơn vị)Số đầu tiên là:2001 – 38 = 1963Đáp số : số đầu tiên là 1963.

Dạng 4. Tra cứu số chữ số biết số số hạng

Ghi nhớ:Để tra cứu số chữ số ta:+ tìm kiếm xem trong dãy số gồm bao nhiêu số số hạng+ vào số các số đó tất cả bao nhiêu số gồm 1, 2, 3, 4,. .. Chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Cho dãy số 1, 2, 3, 4,. .., 150.Dãy này còn có bao nhiêu chữ số

Giải:Dãy số 1, 2, 3,. .., 150 tất cả 150 số.Trong 150 số có+ 9 số có 1 chữ số+ 90 số bao gồm 2 chữ số+ những số gồm 3 chữ số là: 150 – 9 – 90 = 51 (chữ số)Dãy này còn có số chữ số là:1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số)Đáp số: 342 chữ số

Bài 2:Viết các số chẵn liên tiếp tữ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số?

Giải:Giải:Dãy số: 2, 4,. .., 1998 bao gồm số số hạng là:(1998 – 2): 2 + 1 = 999 (số)Trong 999 số có:4 số chẵn có một chữ số45 số chẵn có 2 chữ số450 số chẵn tất cả 3 chữ sốCác số chẵn tất cả 4 chữ số là:999 – 4 – 45 – 450 = 500 (số)Số lượng chữ số phải viết là:1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số)đáp số: 3444 chữ số

Dạng 5. Kiếm tìm số số hạng biết số chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Một quyển sách coc 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó gồm bao nhiêu trang?

Giải:Để đánh số trang sách người ta bắt đầu đánh tữ trang số 1. Ta thấy để đánh số trang có 1 chữ số người ta đánh mất 9 số và mất:1 x 9 = 9 (chữ số)Số trang sách có 2 chữ số là 90 bắt buộc để đánh 90 trang này mất:2 x 90 = 180 (chữ số)Đánh quyển sách gồm 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số trang sách có 3 chữ số là:435 – 9 – 180 = 246 (chữ số)246 chữ số thì đánh được số trang có 3 chữ số là:246: 3 = 82 (trang)Quyển sách đó bao gồm số trang là:9 + 90 + 82 = 181 (trang)đáp số: 181 trang

Bài 2:Viết những số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào?

Giải:Từ 87 đến 99 có những số lẻ là:(99 – 87): 2 + 1 = 7 (số)Để viết 7 số lẻ cần:2 x 7 = 14 (chữ số)Có 450 số lẻ bao gồm 3 chữ số bắt buộc cần:3 x 450 = 1350 (chữ số)Số chữ số sử dụng để viết các số lẻ có 4 chữ số là:3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số)Viết được các số bao gồm 4 chữ số là:1792: 4 = 448 (số)Viết đến số:999 + (448 – 1) x 2 = 1893

———————–

* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1:Tính tổng:a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999.b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150.Bài 2:Có từng nào số:a, gồm 3 chữ số khi phân chia cho 5 dư 1? dư 2?b, bao gồm 4 chữ số phân chia hết cho 3?c, có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4?Bài 3:Khi đánh số thứ tự những dãy đơn vị trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và những số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số hàng thứ hai. Hỏi bên cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số hàng này người ta đã cần sử dụng 769 chữ cả thảy?Bài 4:Cho dãy những số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của hàng này? Giải thích giải pháp tìm.

Xem thêm: Đặt Vé Xe Khách Đi Cảng Cái Rồng, Đặt Xe Từ Cô Tô, Vân Đồn Đi Hà Nội

Bài 5:Tìm tổng của:a, các số tất cả hai chữ số phân tách hết mang lại 3;b, các số gồm hai chữ số phân tách cho 4 dư 1;c, 100 số chẵn đầu tiên;d, 10 số lẻ khác biệt lớn hơn đôi mươi và nhỏ hơn 40.

Bài 6:Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào?Bài 7:Cho dãy số gồm 25 số hạng:.. . , 146, 150, 154.Hỏi số đầu tiên là số nào?

Bài 8:Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ sốBài 9:Viết những số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào?Bài 10:a, gồm bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số?b, tất cả bao nhiêu số bao gồm 3 chữ số đều lẻ?c, tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số nhưng trong đó tất cả ít nhất nhì chữ số giống nhau?Bài 11:Cho hàng số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,…, x.Tìm x biết hàng số có 1989 chữ sốBài 12:Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…; 108,9; 110,0a, dãy số này còn có bao nhiêu số hạng?b, Số hạng thứ 50 của hàng là số hạng nào?

B – QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ:

1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)

Trước hết ta cần xác định quy luật của hàng số.Những quy luật thường gặp là:+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q không giống 0;+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng nhị số hạng đứng trước nó;+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;v . . . V

Loại 1: hàng số bí quyết đều

Bài 1:Viết tiếp 3 số:a, 5, 10, 15, …b, 3, 7, 11, …

Giải:a, Vì: 10 – 5 = 515 – 10 = 5Dãy số bên trên 2 số hạng liền nhau hơn hèn nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:15 + 5 = 2020 + 5 = 2525 + 5 = 30Dãy số mới là:5, 10, 15, 20, 25, 30.b, 7 – 3 = 411 – 7 = 4Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn hèn nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:11 + 4 = 1515 + 4 = 1919 + 4 = 23Dãy số mới là:3, 7, 11, 15, 19, 23.Dãy số giải pháp đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau

Loại 2: dãy số khác

Bài 1:Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, …c, 0, 3, 7, 12, …d, 1, 2, 6, 24, …

Giải:a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 37 = 3 + 411 = 4 + 718 = 7 + 11…Từ đó đúc kết quy luật của hàng số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của nhì số hạng đứng trước nó. Viết tiếp bố số hạng, ta được dãy số sau:1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của hàng số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó.Viét tiếp tía số hạng, ta được hàng số sau.0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …c, ta nhận xét:Số hạng thứ nhị là:3 = 0 + 1 + 2Số hạng thứ bố là:7 = 3 + 1 + 3Số hạng thứ tư là:12 = 7 + 1 + 4. . .Từ đó đúc kết quy luật của hàng là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 cùng cộng với số thứ tự của số hạng ấy.Viết tiếp bố số hạng ta được dãy số sau.0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, …d, Ta nhận xét:Số hạng thứ nhì là2 = 1 x 2Số hạng thứ bố là6 = 2 x 3số hạng thứ tư là24 = 6 x 4. . .Từ đó đúc rút quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.Viết tiếp bố số hạng ta được dãy số sau:1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …

Bài 2:Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:a, . . ., 17, 19, 21b, . . . , 64, 81, 100Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.

Giải:a, Ta nhận xét:Số hạng thứ mười là21 = 2 x 10 + 1Số hạng thứ chín là:19 = 2 x 9 + 1Số hạng thứ tám là:17 = 2 x 8 + 1. . .Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là:Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1.Vậy số hạng đầu tiên của hàng là2 x 1 + 1 = 3b, Tương tự như trên ta đúc rút quy luật của hàng là:Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó.Vậy số hạng đầu tiên của hàng là:1 x 1 = 1

Bài 3:Lúc 7 giờ sáng, Một người xuất phân phát từ A, đi xe pháo đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp với 3 giờ chiều thì về đến B. Vày ngược gió, cho nen tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm kiếm tốc độ của người đó lúc xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quãng đường là 10 km/ giờ ?

Giải:Thời gian người đó đi trên đường là:(11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ)Ta nhận xét:Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là:10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0Tốc độ người đó đi vào tiếng thứ 6 là:12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 5 là:14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2. . .Từ đó rút ra tốc độ người đó lúc xuất phân phát (trong tiếng thứ nhất) là:10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)

Loại 3: Xác định số a có thuộc hàng đã cho hay khôngCách giải:– Xác định quy luật của dãy.– Kiểm tra số a tất cả thoả mãn quy luật đó tốt không.

Bài tập:Em hãy mang lại biết:a, các số 50 cùng 133 bao gồm thuộc dãy 90, 95, 100,. .. Giỏi không?b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. Tốt không?c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc hàng 3, 6, 12, 24,. ..?Giải ưa thích tại sao?

Giải:a, Cả 2 số 50 cùng 133 đều ko thuộc dãy đã mang lại vì– những số hạng của hàng đã đến đều lớn hơn 50;– các số hạng của hàng đã đến đều chia hết đến 5 mà lại 133 không phân chia hết mang đến 5.b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vị mọi số hạng của dãy khi phân tách cho đều dư 2 nhưng 1996: 3 thì dư 1.c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì– Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Mang lại nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) gồm số hạng đứng liền trước là số chẵn nhưng 666: 2 = 333 là số lẻ.– các số hạng của dãy đều phân chia hết đến 3 cơ mà 1000 không phân tách hết mang lại 3– những số hạng của hàng (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn nhưng mà 9999 là số lẻ.

———————–

* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1:Viết tiếp nhị số hạng của dãy số sau:a, 100; 93; 85; 76;…b, 10; 13; 18; 26;…c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;…d, 0; 1; 4; 9; 18;…e, 5; 6; 8; 10;…f, 1; 6; 54; 648;…g, 1; 3; 3; 9; 27;…h, 1; 1; 3; 5; 17;…Bài 2:Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao để cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó:49 +. .. . .. = 420.Giải thích bí quyết tìm.Bài 3:Tìm nhị số hạng đầu của các dãy sau:a,. . . , 39, 42, 45;b,. . . , 4, 2, 0;c,. . . , 23, 25, 27, 29;Biết rằng mỗi dãy bao gồm 15 số hạng.