Cách Xác Định Tọa Độ Tâm Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác Trong Không Gian

Trong không gian Oxyz . Bài 22 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1).

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác .

b) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

d) Tính độ dài đường cao ({h_A}) của tam giác ABC kẻ từ A.

e) Tính các góc của tam giác ABC.

Xem thêm:

g) Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC.

h) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Ta có (overrightarrow {CA} = ( – 1; – 1; – 1),overrightarrow {CB} = ( – 2; – 1;0))

( left< {overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} } ight> = left( {left| matrix{ – 1 hfill cr – 1 hfill cr}
ight.left. matrix{ – 1 hfill cr 0 hfill cr}
ight|;left| matrix{ – 1 hfill cr 0 hfill cr}
ight.left. matrix{ – 1 hfill cr – 2 hfill cr}
ight|;left| matrix{ – 1 hfill cr – 2 hfill cr}
ight.left. matrix{ – 1 hfill cr – 1 hfill cr}
ight|}
ight) )

(= ( – 1;2; – 1)
e overrightarrow 0 )

( Rightarrow overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} ) không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng, tức A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Chu vi tam giác ABC bằng (AB + BC + CA = sqrt 2 + sqrt 5 + sqrt 3 )

({S_{ABC}} = {1 over 2}left| {left< {overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} } ight>}
ight| )

(= {1 over 2}sqrt {{{( – 1)}^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} = {{sqrt 6 } over 2}.)

c) Giả sử D = (x,y,z) ta có : (overrightarrow {AB} = ( – 1;0;1),overrightarrow {DC} = (2 – x;1 – y;1 – z).)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ( Leftrightarrow overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC} Leftrightarrow left{ matrix{ 2 – x = – 1 hfill cr 1 – y = 0 hfill cr 1 – z = 1 hfill cr}
ight. Rightarrow D = (3;1;0).)

d) Gọi ({h_A}) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, ta có :

({h_A} = {{2{S_{ABC}}} over {BC}} = {{sqrt 6 } over {sqrt 5 }} = {{sqrt {30} } over 5})

e) ({mathop{
m cosA}
olimits} = {{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } over {left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AC} }
ight|}} = 0 Rightarrow A = {90^0}) (tam giác ABC vuông tại A).Quảng cáo

(eqalign{ & cos B = {{overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} } over {left| {overrightarrow {BA} }
ight|.left| {overrightarrow {BC} }
ight|}} = {2 over {sqrt {10} }} = {{sqrt {10} } over 5}. cr & cos C = {{overrightarrow {CA} .overrightarrow {CB} } over {left| {overrightarrow {CA} }
ight|.left| {overrightarrow {CB} }
ight|}} = {3 over {sqrt {15} }} = {{sqrt {15} } over 5}. cr} )

g) Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng A. Vậy H=(1;0;0).

Ta có thể làm cách khác như sau :

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC, ta có hệ

(eqalign{ & left{ matrix{ overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = 0 hfill cr overrightarrow {BH} .overrightarrow {AC} = 0 hfill cr overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AH} ext{ đồng phẳng}hfill cr}
ight. cr & cr} )

( Leftrightarrow left{ matrix{ overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = 0 hfill cr overrightarrow {BH} .overrightarrow {AC} = 0 hfill cr left< {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight>.overrightarrow {AH} = 0. hfill cr}
ight.)

Ta có :

(eqalign{ & overrightarrow {AH} = (x – 1;y;z),overrightarrow {BC} = (2;1;0),cr&overrightarrow {BH} = (x;y;z – 1), cr & overrightarrow {AB} = ( – 1;0;1),overrightarrow {AC} = (1;1;1) cr & Rightarrow left< {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight> = ( – 1;2; – 1),cr&left< {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight>.overrightarrow {AH} = 1 – x + 2y – z. cr} )

Vậy ta có hệ phương trình :

(left{ matrix{ 2x – 2 + y = 0 hfill cr x + y + z – 1 = 0 hfill cr 1 – x + 2y – z = 0 hfill cr}
ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{ 2x + y = 2 hfill cr x + y + z = 1 hfill cr x – 2y + z = 1 hfill cr}
ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{ x = 1 hfill cr y = 0 hfill cr z = 0 hfill cr}
ight. Rightarrow H(1;0;0).)

h) Tam giác ABC vuông tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó (I = left( {1;{1 over 2};1}
ight).)

Ta có thể làm cách như sau:

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp (Delta ABC). Ta có hệ

(left{ matrix{ AI = BI hfill cr AI = CI hfill croverrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AI} ext{ đồng phẳng} hfill cr}
ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{ A{I^2} = B{I^2} hfill cr A{I^2} = C{I^2} hfill cr left< {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight>.overrightarrow {AI} = 0 hfill cr}
ight. )

( Leftrightarrow left{ matrix{ x = 1 hfill cr y = {1 over 2} hfill cr z = 1 hfill cr}
ight. Rightarrow I(1;{1 over 2};1). )