Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

- giả dụ hàm số (y=f(x))liên tục bên trên ()thì diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a,x=b)là (S = intlimits_a^b left .)

*

- diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (y = f(x)), (y = g(x))và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)là:

(S = intlimits_a^b f(x) - g(x) ight)

*


Bạn đang xem: Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

Thể tích thiết bị thể B số lượng giới hạn bởi nhì mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại những điểm (a,b)là (V = intlimits_a^b S(x)dx.)Trong kia S(x) là diện tích s thiết diện của đồ vật thể bị cắt bởi vì mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox trên điểm có hoành độ là (x in left< a;,b ight>)và S(x) là 1 trong những hàm liên tục.

*


Xem thêm: Tuổi Tân Hợi Mua Xe Màu Gì, Tuổi Tân Hợi Nên Mua Xe Màu Gì

- Hàm số (y=f(x))liên tục với không âm trên (.)Hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a,x=b)quay quanh trục hoành tạo cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:

(V = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .)

*

- đến hai hàm số(y=f(x)), (y=g(x))thỏa (0leq g(x)leq f(x)), liên tục và không âm trên(.)Hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))và hai tuyến đường thẳng(x=a,x=b)quay xung quanh trục hoành làm cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:

(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)

- đến hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số (y=f(x))và(y=g(x))​ quay quanh trục hoành hoành tạo cho một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn chuyển phiên ta thực hiện các bước:

+ Giải phương trình:

(f(x) = g(x) Leftrightarrow left< eginarrayl x = a\ x = b endarray ight.)

(Thường dạng bài này đề bài xích cho phương trình hoành độ giao điểm gồm hai nghiệm phân biệt).

+ Giải sử(0leq g(x)leq f(x))với hầu như x thuộc(.)Khi đó:

(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)

- Hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số (x = g(y)), trục tung và hai đường thẳng (y = c,,y = d)quay quanh trục tung tạo cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_c^d g^2(y)dy.)

4. Bài bác tập minh họa


Ví dụ 1:

Tính diện tíchtích hình phẳng giới hạn bởi những đường cong(y = x^3,)trục hoànhvà hai tuyến đường thẳng (x = - 1,x = 2.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong(y = x^3)và trục hoành:

Diện tích hình phẳng buộc phải tính:

(eginarraylS = intlimits_ - 1^0 left \= intlimits_ - 1^0 left( - x^3 ight) dx + intlimits_0^2 x^3dx \= left. - fracx^44 ight|_ - 1^0 + left. fracx^44 ight|_0^2 = frac174endarray)

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số

(y = left( e + 1 ight)x)và(y=(1+e^x)x.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:

(eginarraylleft( e + 1 ight)x = left( 1 + e^x ight)x\Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 0\e^x = eendarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 0\x = 1endarray ight.endarray)

Nhận xét, cùng với (x in left< 0;1 ight>)thì hiệu số

(left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x = xleft( e^x - e ight) > 0.)

Khi đó, diện tích hình phẳng đề nghị tìm là

(eginarraylS = intlimits_0^1 left dx\= intlimits_0^1 xleft( e^x - e ight) ightendarray)

Đặt (left{ {eginarray*20cu = x\dv = left( e - e^x ight)dxendarray Rightarrow left eginarray*20cdu = dx\v = ex - e^xendarray ight. ight.)

(eginarraylRightarrow S = left. Xleft( ex - e^x ight) ight|_0^1 - intlimits_0^1 left( ex - e^x ight)dx \= left( - fracex^22 + e^x ight)left| eginarray*20c1\0endarray ight. = frace - 22.endarray)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần đồ vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (x=0)và (x=3), gồm thiết diện bị cắt vày mặt phẳng vuông góc cùng với trục (Ox)tại điểm tất cả hoành độ (xleft( 0 le x le 3 ight))là một hình chữ nhật gồm hai form size bằng (x)và (2sqrt 9 - x^2.)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật bao gồm hai cạnh là

(x;2sqrt 9 - x^2)là (2xsqrt 9 - x^2)

Khi đó, thể tích của đồ vật thể được xác định bằng công thức

(V = intlimits_0^3 2xsqrt 9 - x^2 dx)

Đặt (t = sqrt 9 - x^2 Leftrightarrow t^2 = 9 - x^2 )

(Leftrightarrow xdx = - tdt)và (left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow t = 3\ x = 3 Rightarrow t = 0 endarray ight.)

Suy ra (V = - 2intlimits_3^0 t^2dt = frac2t^33left| eginarray*20c 3\ 0 endarray ight. = 18.)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay sản xuất thành khi mang lại hình phẳnggiới hạn bởi đồ thị hàm số (y = 2x - x^2)và (y = x)quay xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ dùng thị hàm số(y = 2x - x^2) và con đường thẳng(y=x)là

(2x - x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 0\x = 1endarray ight.)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay buộc phải tìm là

(eginarraylV = pi intlimits_0^1 left( 2x - x^2 ight)^2 - x^2 ight \= pi intlimits_0^1 x^4 - 4x^3 + 3x^2 ightendarray)

(eginarraylRightarrow V = left| pi intlimits_0^1 left( x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)dx ight|\= pi left| eginarray*20c1\0endarray ight. ight| = fracpi 5.endarray)